Giải bài 15 trang 89 SGK Hình Học 12 nâng cao

Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Bài 15 (trang 89 sgk Hình Học 12 nâng cao): Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua ba điểm M(2, 0, -1), N(1, -2, 3), P(0, 1, 2).

b) Đi qua hai điểm A(1, 1, -1), B(5, 2, 1) và song song với trục Oz.

c) Đi qua điểm (3, 2, -1) và song song với mặt phẳng có phương trình: x – 5y + z=0

d) Đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng x - y + z + 1 = 0

e) Đi qua điểm M(a, b, c) (abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng tọa đố.

f) Đi qua điểm G(1, 2, 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC

g) Đi qua điểm H(2, 1, 1) và cắt trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trung trực tâm tam giác ABC.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (MNP) nhận vectơ [ , ] là vectơ pháp tuyến. Ta có =(-1,-2,4), =(-2,1,3) nên [ , ]=(-10,-5,-5). Vậy mp(MNP) đi qua M(2, 0, -1) và vectơ pháp tuyến là (-10, -5, -5) nên ta có phương trình: -10(x-2)-5y-5(z+1)=0 <=> 2x + y + z – 3 = 0

b) Vì mặt phẳng đi qua AB và song song với Oz nên nó có vectơ pháp tuyến là n→=[ ,k→], với =(4,1,2),k→=(0,0,1) nên n→=(1,-4,0)

Vậy mặt phẳng cần tìm đi qua A(1, 1, -1) và có vectơ pháp tuyến là n→=(1,-4,0) nên ta có Phương trình là: 1(x-1)-4(y-1)+0(z+1)=0

<=> x – 4y + 3 = 0

Cách khác:

Vì mặt phẳng cần tìm song song với Oz nếu có phương trình dạng Ax + By + D = 0, với + ≠ 0

Vì mặt phẳng này đi qua A(1, 1, -1) và B(5, 2, 1) nên ta có:

⇒ 4A + B = 0, nếu A = 0 thì B = 0 (loại)

Vậy A ≠ 0,ta chọn A = 1 ⇒ B = -4, và D = 3

Vậy phương trình mặt phẳng là: x – 4y + 3 = 0

c) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có:

3 - 5.2 + (-1) + D = 0 ⇔ D = 8

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là : x - 5y + z + 8 = 0

d) Vì mặt phẳng cần tìm đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng: x – y + z + 1 = 0 nên có vectơ pháp tuyến là n→=[ , ], với =(-1,-1,1) và =(1,-1,1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: x-y+z+1=0. Suy ra n→=(0,2,2).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 0(x- 0)+2(y-1)+2( z- 1)= 0 hay y + z – 2 = 0

e) * Nếu mặt phẳng cần tìm song song với mp(Oxy) thì nó có vectơ pháp tuyến là n→=(0,0,1), mặt khác mặt phẳng này đi qua điểm M(a, b, c) nên có phương tình là: z – c = 0.

Tương tự, nếu mặt phẳng cần tìm đi qua M(a, b, c) và song song với mp(Oxz) thì có Phương trình: y – b = 0.

* Nếu mặt phẳng đó đi qua M(a, b, c) và song song với mp(Oyz) thì có phương trình: z - c = 0

f) Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). vì G(1, 2, 3) là trọng tâm của ΔABC nên ta có:

suy ra a = 3, b= 6, c = 9 nên ta có Phương trình mp(ABC) theo đoạn chắn là :

g) Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c).

Vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên.

Khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:

Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có:

2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0