Giải bài 22 trang 90 SGK Hình Học 12 nâng cao

Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Bài 22 (trang 90 sgk Hình Học 12 nâng cao): Cho tứ diện OABC có tam giác OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông đỉnh O, gọi α,β,γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh.

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn

b) ⁡α+ ⁡⁡β+ ⁡γ=1

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O = (0, 0, 0); A = (a, 0, 0); B = (0, b, 0); C = (0, 0, c)

a) Ta có:

=(-a,b,0), =(-a,0,c) nên

Vậy ΔABC có ba góc nhọn (đpcm)

b) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là: n→=[ , ]=(bc,ac,ab).

Các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) lần lượt có vectơ pháp tuyến là

=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1) nên ta có: