Giải bài 16 trang 103 SGK Hình học 11 nâng cao

Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 16 (trang 103 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một góc vuông và AB = a, BC = b, CD = c.

a) Tính độ dài AD

b) Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D

c) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a) Ta có

Mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC

Trong tam giác vuông ABC ta có :

= + = +

Trong tam giác vuông ACD ta có :

= + = + + =>

b) Ta có :

Do đó AB ⊥ BD.

Gọi I là trung điểm AD .

+) Tam giác ACD vuông tại C có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên:

+) Tam giác ABD vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên:

Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB = IC = ID

Vây I cách đều A, B, C, D.