Phương pháp giải các bài toán tìm min, max liên quan đến số phức
1. Kiến thức cần nhớ
2. Một số dạng toán thường gặp
1. Kiến thức cần nhớ
- Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0\)
- Bất đẳng thức Cô-si: \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) với \(x,y > 0\)
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\)
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp:
- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\).
- Bước 2: Thay \(z\) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\).
- Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra \(x,y \Rightarrow z\).
Ví dụ: Cho \({z_1};{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.\) Tính max\(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.\)
A. \(8\)
B. \(10\)
C. \(4\)
D. \(\sqrt {10} \)
Giải
Đặt \({z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.\) \(({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R)\). Điều kiện đã cho trở thành
+) \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 1\)\( \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i - {x_2} - {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 - 2{x_1}{x_2} - 2{y_1}{y_2} = 1\) (1)
+) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3\)
\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được \({x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5\)
+) \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
\(T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right).\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right)} \)
\( = \sqrt {2.5} = \sqrt {10} \Rightarrow \) \(\max T = \sqrt {10} .\)
Đáp án D.
Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng
+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun
Số phức \(z = x + yi(x,y \in R)\) có điểm biểu diễn là \(M(x,y)\). Mô đun của số phức \(z\) là độ dài đoạn thẳng \(OM\) với \(O\) là gốc tọa độ.
Ví dụ: Cho số phức \(z = x + yi\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính \(N = {x^2} + {y^2}.\)
A. \(N = 8\)
B. \(N = 10\)
C. \(N = 16\)
D. \(N = 26\)
Giải
Gọi \(M(x,y)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\)
+) \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \left| {z - 2i} \right|\)\( \Rightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {x^2} + {(y - 2)^2} \Leftrightarrow - 4x + 4 - 8y + 16 = - 4y + 4\)
\( \Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\)
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của \(z\) là một đường thẳng \(x + y - 4 = 0\)
+) \(N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}\)
\( \Rightarrow N\)min\( \Leftrightarrow \left| z \right|\)min\( \Leftrightarrow OM\)min \( \Rightarrow OM \bot d:x + y - 4 = 0\)
\( \Rightarrow M(2,2)\) \( \Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8\)
Đáp án A.
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
- Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.
Ví dụ: Cho \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 4i} \right| = \sqrt 5 .\) Tìm max\(\left| z \right|.\)
A. \(3\sqrt 5 \)
B. \(5\)
C. \(\sqrt 5 \)
D. \(\sqrt {13} \)
Giải
Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.
Ta có: \(\left| z \right| - \left| { - 2 - 4i} \right| \le \left| {z - 2 - 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| - \sqrt {20} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20} + \sqrt 5 = 3\sqrt 5 \)
\( \Rightarrow \) max\(\left| z \right| = 3\sqrt 5 \)
Đáp án A.