Số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức

a) Số phức

- Số phức \(z\) là một biểu thức có dạng \(z = a + bi\) trong đó \(a,b\) là những số thực và thỏa mãn \({i^2} = - 1\). Trong đó, \(a\) là phần thực, \(b\) là phần ảo, \(i\) là đơn vị ảo.

- Tập hợp các số phức kí hiệu là \(C\).

- Số phức \(z\) là số thực nếu \(b = 0 \Rightarrow z = a\), là số ảo nếu \(a = 0 \Rightarrow z = bi\).

- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

- Hai số phức \(z = a + bi,z' = a' + b'i\) bằng nhau nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).

- Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(\overline z = a - bi\).

- Mô đun của số phức \(z = a + bi\) là \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

- Biểu diễn hình học số phức: Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\)

b) Các phép toán trên tập số phức

Cho hai số phức \(z = a + bi,z' = a' + b'i\), khi đó:

+) \(z \pm z' = \left( {a + bi} \right) \pm \left( {a' + b'i} \right) \) \(= \left( {a \pm a'} \right) + \left( {b \pm b'} \right)i\)

+) \(z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) \) \(= \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i\)

+) \(\dfrac{z}{{z'}} = \dfrac{{z.\overline {z'} }}{{z'.\overline {z'} }} = \dfrac{{z.\overline {z'} }}{{{{\left| {z'} \right|}^2}}}\)

Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, mô đun, … của số phức.

Phương pháp:

Sử dụng các định nghĩa phần thực, phần ảo, mô đun,…của số phức để nhận xét.

Dạng 2: Rút gọn biểu thức.

Phương pháp:

Sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa,… để rút gọn biểu thức đã cho.